| Journal: | Ingeniería. investigación y tecnología |
| Database: | |
| System number: | 000537907 |
| ISSN: | 1405-7743 |
| Authors: | Murray Lasso, M.A.1 |
| Institutions: | 1UNAM, Department of Mechanical and Industrial Engineering Facultad de Ingeniería, México. |
| Year: | 2007 |
| Season: | Oct-Dic |
| Volumen: | 8 |
| Number: | 4 |
| Pages: | 281-293 |
| Country: | México |
| Language: | Inglés |
| Spanish abstract | En este artículo se presenta un nuevo enfoque para la solución de sistemas rectangulares de ecuaciones lineales. Comienza con un sistema de ecuaciones homogéneas y a través de consideraciones de espacios lineales obtiene la solución encontrando el espacio nulo de la matriz de coeficientes. Para lograrlo, se encuentra una base ortogonal para el espacio generado por las filas de la matriz de coeficientes y se completa la base para todo el espacio utilizando el proceso de Gram-Schmidt de ortogonalización. El caso no-homogéneo se maneja con virtiendo el problema en uno homogéneo, pasando el vector del lado derecho al lado izquierdo, usando sus componentes como coeficientes de una variable adicional y resolviendo el nuevo sistema e imponiendo al final la condición que la vari able adicional adopte un valor unitario. Se muestra que el espacio nulo de la matriz de coeficientes está íntimamente asociado con las matrices de proyección ortogonal, las cuales se construyen con facilidad a partir de la base ortogonal utilizando díadas. El artículo maneja el método introducido como un método exacto cuando los coeficientes originales son racionales, utilizando aritmética racional. El análisis de la eficiencia y características numéricas del método se pospone para un futuro artículo. Se proporcionan ejemplos numéricos ilustrativos en detalle y se ilustra el uso del programa Mathematica para hacer los cálculos en aritmética racional. |
| English abstract | In this paper a novel approach to the solution of rectangular systems of linear equations is presented. It starts with a homogeneous set of equations and through linear se space considerations obtains the solution by finding the null space of the coefficient matrix. To do this an orthogonal basis for the row space of the coefficient matrix is found and this basis is completed for the whole space using the Gram-Schmidt orthogonalization process. The non homogeneous case is handled by converting the problem into a homogeneous one, passing the right side vector to the left side, letting the components of the negative of the right side become the coefficients of and additional variable, solving the new system and at the end imposing the condition that the additional variable take a unit value. It is shown that the null space of the coefficient matrix is intimately connected with orthogonal projection matrices which are easily constructed from the orthogonal basis using dyads. The paper treats the method introduced as an exact method when the original coefficients are rational and rational arithmetic is used. The analysis of the efficiency and numerical characteristics of the method is deferred to a future paper. Detailed numerical illustrative examples are provided in the paper and the use of the program Mathematica to perform the computations in rational arithmetic is illustrated. |
| Keyword: | Sistemas rectangulares de ecuaciones lineales, Proceso de Gram-Schmidt, Matrices de proyección ortogonal, Espacios vectoriales lineales, Díadas |
| Keyword: | Rectangular systems of linear equations, Gram - Schmidt process, Orthogonal projection matrices, Linear vector spaces, Dyads |
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